Question

6．已知函数f（x）=|2^x+1+$\frac{a}{{2}^{x}}$|在[-$\frac{1}{2}$，3]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． [0，1]
• B． [-1，1]
• C． [-1，2]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 为去绝对值号，讨论a：（1）a＜0时，根据指数函数和增函数的定义便可判断函数$f（x）={2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}$在[$-\frac{1}{2}$，3]上单调递增，从而需满足f（-$\frac{1}{2}$）≥0，这样可得到-1≤a＜0；（2）a=0时，显然满足条件；（3）a＞0时，得到f（x）=${2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}≥2\sqrt{2a}$，并可判断x=$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）$时取等号，从而需满足$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）≤-\frac{1}{2}$，可解出该不等式，最后便可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a＜0时，函数f（x）=${2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}$在$[-\frac{1}{2}，3]$上单调递增；
∴$f（-\frac{1}{2}）=\sqrt{2}+\sqrt{2}a≥0$；
∴-1≤a＜0；
（2）当a=0时，f（x）=2^x+1在$[-\frac{1}{2}，3]$上单调递增；
（3）当a＞0时，$f（x）={2}^{x+1}+\frac{a}{{2}^{x}}≥2\sqrt{2a}$，当且仅当${2}^{x+1}=\frac{a}{{2}^{x}}$，即x=$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）$时等号成立；
∴要使f（x）在[$-\frac{1}{2}，3$]上单调递增，则$\frac{1}{2}（lo{g}_{2}a-1）≤-\frac{1}{2}$；
即0＜a≤1；
综上得，实数a的取值范围为[-1，1]．
故选B．

点评 考查含绝对值函数的处理方法：取绝对值号，以及指数函数的单调性，增函数的定义，基本不等式的运用，清楚基本不等式等号成立的条件，指数式和对数式的互化，以及对数函数的单调性．