Question

过双曲线的右焦点F，在第一象限内作双曲线渐近线的垂线，垂足为D，若FD中点在双曲线上，则此双曲线的离心率为

1. A.
   +1
2. B.
   2
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：依题意可求得|FD|=b，通过第一象限内的双曲线渐近线方程与其垂线的方程求得点D的坐标，从而可得FD中点M的坐标，利用双曲线的第二定义即可求得其离心率．
解答：由题意得，该双曲线的右焦点F（c，0），
第一象限内的双曲线的渐近线l的方程为：y=x，即bx-ay=0，
设点F 到l的距离为d，则d==b，即|FD|=b，
又直线FD⊥l，
∴直线FD的方程为：y=-（x-c）
由得D（，），设FD的中点为M，由中点坐标公式可得M（，），
又FD中点M在双曲线上，该双曲线的右准线方程为：x=，点M 到右准线的距离d^′=|-|，而|MF|=|FD|=b，
∴由双曲线的第二定义可得e===，又e=，
∴a=b．
∴e===．
故选D．
点评：本题考查双曲线的简单性质，考查点到直线间的距离与中点坐标公式，考查双曲线的第二定义，考查分析转化与综合应用的能力，属于难题．