Question

1．已知定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），且对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，则x的取值范围为（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）．

Answer 1

分析 根据条件分别判断函数是偶函数，以及函数在[0，+∞）上是减函数，利用函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式进行等价转化进行求解即可．

解答 解：由f（-x）=f（x），得函数f（x）是偶函数，
若对于任意x₁，x₂∈[0，+∞），x₁≠x₂，均有$\frac{f（{x}_{2}）-f（{x}_{1}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，则此时函数f（x）为减函数，
若f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，2f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜1，
则f（-$\frac{1}{3}$）=$\frac{1}{2}$，f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜$\frac{1}{2}$，
即不等式等价为f（log${\;}_{\frac{1}{8}}$x）＜f（-$\frac{1}{3}$），
即f（|log${\;}_{\frac{1}{8}}$x|）＜f（$\frac{1}{3}$），
则log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＞$\frac{1}{3}$或log${\;}_{\frac{1}{8}}$x＜-$\frac{1}{3}$，
得0＜x＜（$\frac{1}{8}$）${\;}^{\frac{1}{3}}$=$\frac{1}{2}$或x＞（$\frac{1}{8}$）^-${\;}^{\frac{1}{3}}$=2，
即x的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞），
故答案为：（0，$\frac{1}{2}$）∪（2，+∞）

点评 本题主要考查不等式的求解，根据条件判断函数的奇偶性和单调性，以及利用函数奇偶性和单调性的关系将不等式进行转化是解决本题的关键．