题目内容
设定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=x2-1（x＞0），则不等式f（x-1）＞0的解集为 ．
考点：函数奇偶性的性质
专题：函数的性质及应用
分析：根据奇函数的性质和题意求出解析式，再对x进行分类利用二次不等式的解法求解不等式．
解答：
解：∵函数f（x）是奇函数，
令x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=（-x）2-1=x2-1=-f（x），
∴f（x）=-x2+1，
则f(x)=
，
当x-1＜0，即x＜1，
∴f（x-1）=-（x-1）2+1=-x2+2x＞0，
解得0＜x＜2，又x＜1，
∴0＜x＜1，
当x-1＞0，即x＞1，
f（x-1）=（x-1）2-1=x2-2x＞0，
∴x＜0或x＞2，又x＞1，
∴x＞2．
综上得，不等式的解集是：（0，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．
令x＜0，则-x＞0，
∴f（-x）=（-x）2-1=x2-1=-f（x），
∴f（x）=-x2+1，
则f(x)=
|
当x-1＜0，即x＜1，
∴f（x-1）=-（x-1）2+1=-x2+2x＞0，
解得0＜x＜2，又x＜1，
∴0＜x＜1，
当x-1＞0，即x＞1，
f（x-1）=（x-1）2-1=x2-2x＞0，
∴x＜0或x＞2，又x＞1，
∴x＞2．
综上得，不等式的解集是：（0，1）∪（2，+∞）．
故答案为：（0，1）∪（2，+∞）．
点评：本题考查函数为奇函数的性质，且解析式为分段函数问题，一元二次不等式的解法等知识，以及分类讨论思想，属于中档题．
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