Question

【题目】设函数， 为自然对数的底数.

（1）若函数的图象在点处的切线方程为，求实数， 的值；

（2）当时，若存在， ，使成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）， ;（2）.

【解析】【试题分析】（1）先依据题设运用导数的几何意义建立方程求解；（2）先不等式进行等价转化与化归，再够 造函数运用导数知识分析求解：

（1）由已知得， ， ，

则，且，解之得， .

（2）当时， .

又 = .

故当，即时， .

“存在， 使成立”等价于“当时，有”，

又当时， ， ，

问题等价于“当时，有”.

当时， 在上为减函数，则 .

故；

②当时， 在上的值域为.

（i）当，即时， 在上恒成立，故在上为增函数，

于是 ，不合题意；

（ii）当，即时，由的单调性和值域知.

存在唯一，使，且满足

当时， ， 为减函数；

当时， ， 为增函数.

所以 ， .

所以 ，与矛盾.

综上，得的最小值为.