Question

【题目】如甲图所示，在矩形中， ， ， 是的中点，将沿折起到位置，使平面平面，得到乙图所示的四棱锥．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） .

【解析】试题分析：（Ⅰ）取中点，连，证得，又平面平面，证得平面，证明再利用线面的判定定理，即可证得平面

（Ⅱ）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以， 为轴正方向建立空间直角坐标系，由（Ⅰ）知： 是平面的法向量，设平面的法向量为，利用空间向量的夹角公式，即可求解结论.

试题解析：

（Ⅰ）如下图，取中点，连，在中， ， ，又平面平面， 平面， 平面， ，即．在中，易得， ， ，

，又，

平面

（Ⅱ）由题意，取中点，以为坐标原点，分别以， 为轴正方向建立间直角坐标系如图所示，则，由（Ⅰ）知： 是平面的法向量，设平面的法向量为，则

，令，则， ，

，设二面角的平面角为，

则 ，

由图可知，二面角的平面角为钝角，

，即：二面角的余弦值为