题目内容
【题目】设函数
是定义在
上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数
，都有
；②当
时， 
；③
.
（1）求
， 
的值；
（2）证明
在
上是减函数；
（3）如果不等式
成立，求
的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
;（Ⅱ）见解析; （Ⅲ）
）.
【解析】试题分析：（1）利用赋值法，求
、
的值．
（2）利用单调性的定义，结合抽象函数之间的数值关系进行证明．
（3）利用函数的单调性将不等式进行转化，解不等式即可．
试题解析：
（Ⅰ）令
易得
．
而
，
且
，得
．
（Ⅱ）
∴
∴
在
上为减函数．
（Ⅲ）由条件（1）及（Ⅰ）的结果得： 
，其中
，
由（Ⅱ）得： 
，解得
的范围是
）
点晴：本题属于对函数单调性的证明和单调性应用的考察，若函数
在区间上单调递增，则
时，有
，事实上，若
,则
，这与
矛盾，类似地，若
在区间上单调递减，则当
时有
；据此可以解不等式，由数值的大小，根据单调性就可以得自变量的大小关系.
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