题目内容
在xoy平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点Pn位于函数
，（0＜a＜10）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设
，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）
【答案】分析：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，结合点Pn（an，bn）在函数
（0＜a＜10）的图象上，可得结论；
（Ⅱ）根据函数
（0＜a＜10）是单调递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）先确定数列{Cn}是一个递减的等差数列，再根据当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而an=n+
，又因为点Pn（an，bn）在函数
（0＜a＜10）的图象上，所以bn=2000（
）n+
；
（Ⅱ）∵函数
（0＜a＜10）是单调递减，∴对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而
∵0＜a＜10，∴5（
-1）＜a＜10
（Ⅲ）∵5（
-1）＜a＜10，∴a=7，∴
，
于是
∴数列{Cn}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大．
由
得n≤20.8，
∴n=20．
点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，具有一定的难度
（0＜a＜10）的图象上，可得结论；（Ⅱ）根据函数
（0＜a＜10）是单调递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；（Ⅲ）先确定数列{Cn}是一个递减的等差数列，再根据当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而an=n+
，又因为点Pn（an，bn）在函数（0＜a＜10）的图象上，所以bn=2000（）n+；（Ⅱ）∵函数
（0＜a＜10）是单调递减，∴对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而
∵0＜a＜10，∴5（
-1）＜a＜10（Ⅲ）∵5（
-1）＜a＜10，∴a=7，∴，于是
∴数列{Cn}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大．
由
得n≤20.8，∴n=20．
点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，具有一定的难度
练习册系列答案
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