题目内容
（2000•上海）在xoy平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000(
)x，（0＜a＜10）的图象上，且点Pn、点（n，0）与点（n+1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设Cn=lg(bn)，n∈N*，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）
| a | 10 |
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式；
（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围；
（Ⅲ）设Cn=lg(bn)，n∈N*，若a取（Ⅱ）中确定的范围内的最小整数，问数列{Cn}前多少项的和最大？试说明理由．（lg2=0.3010，lg7=0.8450）
分析：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，结合点Pn（an，bn）在函数y=2000(
)x（0＜a＜10）的图象上，可得结论；
（Ⅱ）根据函数y=2000(
)x（0＜a＜10）是单调递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；
（Ⅲ）先确定数列{Cn}是一个递减的等差数列，再根据当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大，即可得到结论．
| a |
| 10 |
（Ⅱ）根据函数y=2000(
| a |
| 10 |
（Ⅲ）先确定数列{Cn}是一个递减的等差数列，再根据当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大，即可得到结论．
解答：解：（Ⅰ）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而an=n+
，又因为点Pn（an，bn）在函数y=2000(
)x（0＜a＜10）的图象上，所以bn=2000（
）n+
；
（Ⅱ）∵函数y=2000(
)x（0＜a＜10）是单调递减，∴对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而(
)2+(
-1)＞0
∵0＜a＜10，∴5（
-1）＜a＜10
（Ⅲ）∵5（
-1）＜a＜10，∴a=7，∴bn=2000(
)n+
，
于是Cn=lg[2000(
)n+
]=3+lg2+(n+
)lg0.7
∴数列{Cn}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大．
由Cn=3+lg2+(n+
)lg0.7≥0得n≤20.8，
∴n=20．
从而an=n+
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（Ⅱ）∵函数y=2000(
| a |
| 10 |
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而(
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
∵0＜a＜10，∴5（
| 5 |
（Ⅲ）∵5（
| 5 |
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
于是Cn=lg[2000(
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
∴数列{Cn}是一个递减的等差数列．
因此，当且仅当Cn≥0且Cn+1＜0时，数列{Cn}的前n项的和最大．
由Cn=3+lg2+(n+
| 1 |
| 2 |
∴n=20．
点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，具有一定的难度
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