题目内容
（2000•上海）在XOY平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn），…，对每个自然数n，点P，位于函数y=2000(
)n(0＜a＜10)的图象上，且点Pn，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形．
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设Bn=b1b2…bn（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{Bn}的最大项的项数．
| a | 10 |
（Ⅰ）求点Pn的纵坐标bn的表达式．
（Ⅱ）若对每个自然数n，以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，求a取值范围．
（Ⅲ）设Bn=b1b2…bn（n∈N）．，若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{Bn}的最大项的项数．
分析：（I）利用点Pn，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，可得点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，求出an，即可求点Pn的纵坐标bn的表达式．
（Ⅱ）函数y=2000(
)n(0＜a＜10)递减，可得对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，进而由bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，可得bn+2+bn+1＞bn，由此可求a的取值范围；
（III）确定数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1，即可确定结论．
（Ⅱ）函数y=2000(
| a |
| 10 |
（III）确定数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1，即可确定结论．
解答：解：（I）由题意，∵点Pn，点（n，0）与点（n+1.0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形，
∴点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
∴an=n+
，∴bn=2000(
)n+
，…（4分）
（II）∵函数y=2000(
)n(0＜a＜10)递减，
∴对每个自然数n，有bn＞bn+1＞bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，
即(
)2+(
)-1＞0…（7分）
解得a＜-5(1+
)或a＞5(
)
∴5(
-1)＜a＜10，…（10分）
（III）∵5(
-1)＜a＜10，a取（2）中确定的范围内的最小整数，
∴a=7，
∴bn=2000(
)n+
…（12分）
∴数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，Bn=bnBn-1，
于是当bn≥1时，Bn≥Bn-1，当bn＜1时，Bn＜Bn-1，
因此，数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1．
由bn=2000(
)n+
≥1得n≤20.8，
∴n=20．…（16分）
∴点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
∴an=n+
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（II）∵函数y=2000(
| a |
| 10 |
∴对每个自然数n，有bn＞bn+1＞bn+2，则以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形的充要条件是bn+2bn+1bn，
即(
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
解得a＜-5(1+
| 5 |
| 5-1 |
∴5(
| 5 |
（III）∵5(
| 5 |
∴a=7，
∴bn=2000(
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
∴数列{bn}是一个递减的正数数列，对每个自然数n≥2，Bn=bnBn-1，
于是当bn≥1时，Bn≥Bn-1，当bn＜1时，Bn＜Bn-1，
因此，数列{Bn}的最大项的项数n满足不等式bn≥1且bn+1＜1．
由bn=2000(
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
∴n=20．…（16分）
点评：本题考查数列知识的综合运用，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键，属于中档题．
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