题目内容
在xoy平面上有一点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），P3（a3，b3），…，Pn（an，bn），…，对每一个（n∈N+），点Pn（an，bn）在函数y=2000(| a | 10 |
（1）求点Pn（an，bn）的纵坐标bn关于n的表达式；
（2）若对每一个自然数n，以bn，bn+1，bn+2能构成一个三角形，求a的范围；
（3）设Bn=b1•b2•b3•…•bn（n∈N+），若a取（2）中确定的范围内的最小整数时，求{Bn}中的最大项．
分析：（1）由题设条件知点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，所以an=n+
，再由点Pn（an，bn）在函数y=2000（
s）x（0＜a＜10）的图象上查求出bn=2000(
)n+
．
（2）由题设条件知bn＞bn+1＞bn+2，bn+2+bn+1＞bn，从而（
）2+（
）-1＞0，由此可求出a的范围．
（3）由题意知a=7，2000(
)n+
≥1且2000(
)n+1+
＜1．从而{Bn}的最大项是第20项．
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（2）由题设条件知bn＞bn+1＞bn+2，bn+2+bn+1＞bn，从而（
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
（3）由题意知a=7，2000(
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
解答：解：（1）由于三角形为等腰三角形，所以点Pn（an，bn）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而an=n+
，又因为点Pn（an，bn）在函数y=2000（
s）x（0＜a＜10）的图象上，所以bn=2000(
)n+
．
（2）因为函数y=2000（
s）x（0＜a＜10）是单调递减，所以对每一个自然数n有bn＞bn+1＞bn+2，
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而
2000(
)n+2+
+2000(
)n+1+
＞2000(
)n+
，
即：（
）2+（
）-1＞0，
解得：5（
-1）＜a＜10．
（3）因为5（
-1）＜a＜10且a是整数，所以a=7，因此bn=2000(
)n+
，
又因为Bn=bnBn-1，于是当bn+1≥1时，Bn≥Bn-1，当bn+1＜1时，Bn＜Bn+1，
所以{Bn}的最大项的项n满足bn≥1且bn+1＜1，即：
2000(
)n+
≥1且2000(
)n+1+
＜1．
解得：19.8＜n＜20.9，又n∈N，所以，n=20，从而{Bn}的最大项是第20项．
从而an=n+
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
（2）因为函数y=2000（
| a |
| 10 |
又因为以bn，bn+1，bn+2为边长能构成一个三角形，所以bn+2+bn+1＞bn，从而
2000(
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| a |
| 10 |
| 1 |
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即：（
| a |
| 10 |
| a |
| 10 |
解得：5（
| 5 |
（3）因为5（
| 5 |
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
又因为Bn=bnBn-1，于是当bn+1≥1时，Bn≥Bn-1，当bn+1＜1时，Bn＜Bn+1，
所以{Bn}的最大项的项n满足bn≥1且bn+1＜1，即：
2000(
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
| 7 |
| 10 |
| 1 |
| 2 |
解得：19.8＜n＜20.9，又n∈N，所以，n=20，从而{Bn}的最大项是第20项．
点评：本题考查数列知识的综合运用，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解题．
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