题目内容

在xoy平面上有一点列P₁（a₁，b₁），P₂（a₂，b₂），P₃（a₃，b₃），…，P_n（a_n，b_n），…，对每一个（n∈N₊），点P_n（a_n，b_n）在函数y=2000 $数学公式$ （0＜a＜10）的图象上，且点P_n（a_n，b_n）与点（n，0）和（n+1，0）构成一个以点P_n（a_n，b_n）为顶点的等腰三角形．
（1）求点P_n（a_n，b_n）的纵坐标b_n关于n的表达式；
（2）若对每一个自然数n，以b_n，b_n+1，b_n+2能构成一个三角形，求a的范围；
（3）设B_n=b₁•b₂•b₃•…•b_n（n∈N₊），若a取（2）中确定的范围内的最小整数时，求{B_n}中的最大项．

解：（1）由于三角形为等腰三角形，所以点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，
从而a_n=n+ $\text{[math]}$ ，又因为点P_n（a_n，b_n）在函数y=2000（ $\text{[math]}$ s）^x（0＜a＜10）的图象上，所以b_n=2000 $\text{[math]}$ ．
（2）因为函数y=2000（ $\text{[math]}$ s）^x（0＜a＜10）是单调递减，所以对每一个自然数n有b_n＞b_n+1＞b_n+2，
又因为以b_n，b_n+1，b_n+2为边长能构成一个三角形，所以b_n+2+b_n+1＞b_n，从而
2000 $\text{[math]}$ +2000 $\text{[math]}$ ＞2000 $\text{[math]}$ ，
即：（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）-1＞0，
解得：5（ $\text{[math]}$ -1）＜a＜10．
（3）因为5（ $\text{[math]}$ -1）＜a＜10且a是整数，所以a=7，因此b_n=2000 $\text{[math]}$ ，
又因为B_n=b_nB_n-1，于是当b_n+1≥1时，B_n≥B_n-1，当b_n+1＜1时，B_n＜B_n+1，
所以{B_n}的最大项的项n满足b_n≥1且b_n+1＜1，即：
2000 $\text{[math]}$ ≥1且2000 $\text{[math]}$ ＜1．
解得：19.8＜n＜20.9，又n∈N，所以，n=20，从而{B_n}的最大项是第20项．
分析：（1）由题设条件知点P_n（a_n，b_n）在两点（n，0）与（n+1，0）连线的中垂线上，所以a_n=n+ $\text{[math]}$ ，再由点P_n（a_n，b_n）在函数y=2000（ $\text{[math]}$ s）^x（0＜a＜10）的图象上查求出b_n=2000 $\text{[math]}$ ．
（2）由题设条件知b_n＞b_n+1＞b_n+2，b_n+2+b_n+1＞b_n，从而（ $\text{[math]}$ ）²+（ $\text{[math]}$ ）-1＞0，由此可求出a的范围．
（3）由题意知a=7，2000 $\text{[math]}$ ≥1且2000 $\text{[math]}$ ＜1．从而{B_n}的最大项是第20项．
点评：本题考查数列知识的综合运用，具有一定的难度，解题时要注意挖掘题设中的隐含条件，仔细解题．