Question

1．已知△ABC中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面BCD，∠ADB=60°，E、F分别为AC，AD上的动点，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．
（1）求证：不论k为何值，总有平面BEF⊥平面ABC；
（2）当k为何值时．平面BEF⊥平面ACD；
（3）在（2）的条件下三棱锥A-BEF的体积．

Answer 1

分析 （1）由已知中，∠BCD=90°，AB⊥平面BCD，我们易得到CD⊥平面ABC，又由E、F分别是AC、AD上的动点，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．故EF∥CD即EF⊥平面ABC，再由面面垂直的判定定理，即可得到答案．
（2）由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，BE⊥平面ACD，BE⊥AC．故只须让所求λ的值能证明BE⊥AC即可．在△ABC中求出k的值．
（3）由V_A-BEF=V_B-AEF，利用等体积法能求出三棱锥A-BEF的体积．

解答 （1）证明：∵AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，
又在△BCD中，∠BCD=90°，
∴BC⊥CD，又AB∩BC=B，
∴CD⊥平面ABC，
又在△ACD中E、F分别是AC、AD上的动点，且AE：AC=AF：AD=k，k∈（0，1）．
∴EF∥CD，
∴EF⊥平面ABC，又EF?平面BEF，
∴不论k为何值，总有平面BEF⊥平面ABC．
（2）解：由（1）知，BE⊥EF，又平面BEF⊥平面ACD，
∴BE⊥平面ACD，∴BE⊥AC．
∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°，
∴BD=$\sqrt{2}$，AB=$\sqrt{2}$tan60°=$\sqrt{6}$，
∴AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
由AB²=AE•AC，得AE=$\frac{6}{\sqrt{7}}$，∴k=$\frac{AE}{AC}$=$\frac{6}{7}$，
故当k=$\frac{6}{7}$时，平面BEF⊥平面ACD．
（3）∵BE⊥AC，AB⊥AC，∴$BE=\frac{AB•BC}{AC}$=$\frac{\sqrt{6}×1}{\sqrt{7}}$=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}$，
∵AC⊥CD，EF∥CD，∴AE⊥EF，∴S_△AEF=$\frac{1}{2}×AE×EF$=$\frac{1}{2}×\frac{6}{\sqrt{7}}×\frac{6}{7}$=$\frac{18}{7\sqrt{7}}$，
∴三棱锥A-BEF的体积V_A-BEF=V_B-AEF=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{7}}×\frac{18}{7\sqrt{7}}$=$\frac{6\sqrt{6}}{49}$．

点评 本题考查了面面垂直的判定，考查三棱锥的体积的求法，在证明面面垂直时，其常用方法是在其中一个平面内找两条相交直线和另一平面内的某一条直线垂直．