Question

已知数列{a_n}的第1项a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

，（n=1，2，3，…），则此数列的通项公式a_n=

 

．

Answer 1

分析：将递推关系式倒过来，构造了等差数列{

1

an

}．从而求出a_n的通项公式．

解答：解：由题意，得

1

an+1

=

1+an

an

=

1

an

+1
即

1

an+1

-

1

an

= 1
∴{

1

an

}是以1为首项，1为公差的等差数列．
∴

1

an

=1+(n-1)=n
∴an=

1

n

．
故答案为：

1

n

．

点评：通过递推关系式求通项公式，是数列中常见的题型．本题中所见的就是经常考查的方法，构造等差数列，常用的方法还有构造等比数列，累加法，累乘等．