Question

（1）已知数列{a_n}的第1项 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

（ n=1，2，3…）使用归纳法归纳出这个数列的通项公式．（不需证明）
（2）用分析法证明：若a＞0，则

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2．

Answer 1

分析：（1）由 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

 可求得数列的前若干项，根据每项的结构特征猜想通项公式．
（2）只需证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

，只需证（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需证

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），即证 a²+

1

a2

≥2，而它显然是成立．

解答：解：（1）由 a₁=1，且a_n+1=

an

1+an

 可得，a₂=

a1

1+a1

=

1

2

，a₃=

a2

1+a2

=

1

3

，猜想 an = 

1

n

．
（2）证明：要证

a2+ 1 a2

-

2

≥a+

1

a

-2，只需证

a2+ 1 a2

+2≥a+

1

a

+

2

．
∵a＞0，∴两边均大于零，因此只需证（

a2+ 1 a2

+2）²≥（a+

1

a

+

2

）²，
只需证a²+

1

a2

+4+4

a2+ 1 a2

≥a²+

1

a2

+2+2

2

（a+

1

a

），
只需证

a2+ 1 a2

≥

2

2

（a+

1

a

），只需证a²+

1

a2

≥

1

2

（a²+

1

a2

+2），
即证a²+

1

a2

≥2，它显然是成立，∴原不等式成立．

点评：本题考查归纳推理，以及用分析法证明不等式，寻找使不等式成立的充分条件，是解题的关键．