Question

如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF＝∠CEF＝90°，AD＝，EF＝2．

(1)求证：AE∥平面DCF；

(2)求证：EF⊥平面DCE；

(3)当AB的长为何值时，二面角A―EF―C的大小为60°？

Answer 1

答案：
解析：

(1)证明：过点E作EG⊥CF并CF于G，连结DG，可得四边形BCGE为矩形．又ABCD为矩形， 　　所以AD⊥∥EG，从而四边形ADGE为平行四边形，故AE∥DG． 　　因为AE平面DCF，DG平面DCF，所以AE∥平面DCF　　3分 　　(2)由平面ABCD⊥平面BEFG，DC⊥BC，得DC⊥平面BEFC， 　　所以DC⊥EF，又EF⊥EC，DC与EC交于点C 　　所以EF⊥平面DCE　　6分； 　　(3)解：过点B作BH⊥EF交FE的延长线于H，连结AH． 　　由平面ABCD⊥平面BEFG，AB⊥BC，得AB⊥平面BEFC， 　　从而AH⊥EF， 　　所以∠AHB为二面角A－EF－C的平面角． 　　在Rt△EFG中，因为EG＝AD＝ 　　又因为CE⊥EF，所以CF＝4， 　　从而BE＝CG＝3．于是BH＝BE·sin∠BEH＝ 　　因为AB＝BH·tan∠AHB，所以当AB为时，二面角A－EF－G的大小为60°　　12分