Question

已知数列{a_n}满足：

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²（n≥1，n∈N⁺），
（1）求a₂₀₁₁
（2）若b_n=a_na_n+1，S_n为数列{b_n}的前b项和，存在正整数b，使得S_n＞λ-

1

2

，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据条件可知

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=2011²与

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2010

=2010²，两式相减可求出所求；
（2）先求出数列{a_n}的通项公式，然后根据数列{b_n}通项公式的特点，利用裂项求和法进行求和，从而可求出所求．

解答：解：（1）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2011

=2011²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

a2010

=2010²
两式相减得

1

a2011

=2011²-2010²=4021⇒a₂₀₁₁=

1

4021

（2）

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=n²

1

a1

+

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an+1

=（n+1）²
两式相减得

1

an

=n²-（n-1）²=2n-1⇒an=

1

2n-1

（n≥2）
当n=1时，a₁=1也满足上式∴an=

1

2n-1

（n≥1）
b_n=a_na_n+1=

1

(2n-1)(2n+1)

=

1

2

（

1

2n-1

-

1

2n+1

）
S_n=

1

2

[（1-

1

3

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

2n-1

-

1

2n+1

）]=

1

2

（1-

1

2n+1

）
存在正整数b，使得S_n＞λ-

1

2

，即S_n的最大值大于λ-

1

2

而S_n=

1

2

（1-

1

2n+1

）＜

1

2

∴

1

2

＞λ-

1

2

，即λ＜1

点评：本题主要考查了递推关系，以及数列求和，同时考查了数列与不等式的综合应用和计算能力，属于中档题．