题目内容

13.数列{an}中,a1=1,$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2,n∈N),a5=-11,则其通项为an=$\frac{11}{14-3n}$(n∈N+).

分析 由题意可得数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列,再求出公差d,即可求得an

解答 解:∵a1=1,
∴$\frac{1}{{a}_{1}}$=1,
∵$\frac{2}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{a}_{n+1}}+\frac{1}{{a}_{n-1}}$(n≥2),
∴数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列,
∵a5=-11,
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=-$\frac{1}{11}$,
设数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}的公差为d,
∴$\frac{1}{{a}_{5}}$=$\frac{1}{{a}_{1}}$+4d,
∴-$\frac{1}{11}$=1+4d,
解得d=-$\frac{3}{11}$,
∴$\frac{1}{{a}_{n}}$=1-$\frac{3}{11}$(n-1),
∴an=$\frac{11}{14-3n}$,
当n=1时,a1=1成立,
综上所述其通项为an=$\frac{11}{14-3n}$,( n∈N+ )
故答案为:an=$\frac{11}{14-3n}$,( n∈N* )

点评 本题主要考查用构造法求数列的通项公式,判断数列{$\frac{1}{{a}_{n}}$}是以1为首项的等差数列是解题的关键,属于中档题.

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