若直线l:y=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一个焦点.且与双曲线的一条渐近线平行．(1)求双曲线的方程,且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M.N.MN的垂直平分线为m.求直线m与y轴上的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

4．若直线l：y=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线的一条渐近线平行．
（1）求双曲线的方程；
（2）若过点B（0，b）且与x轴不平行的直线和双曲线相交于不同的两点M，N，MN的垂直平分线为m，求直线m与y轴上的截距的取值范围．

分析（1）求得直线l与x轴的交点，可得c=2，再由两直线平行的条件：斜率相等，可得渐近线方程，解方程可得a，b，进而得到双曲线的方程；
（2）设直线y=kx+1（k≠0），代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1可得，（1-3k²）x²-6kx-6=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），运用韦达定理和判别式大于0，以及中点坐标公式及两直线垂直的条件：斜率之积为-1，求得MN的垂直平分线方程，令x=0，可得直线在y轴上的截距，由不等式的性质可得范围．

解答解：（1）直线l：y=$\frac{\sqrt{3}x}{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$过x轴上一点（2，0），
由题意可得c=2，即a²+b²=4，
双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
由两直线平行的条件可得$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
解得a=$\sqrt{3}$，b=1，
即有双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1；
（2）设直线y=kx+1（k≠0），
代入$\frac{{x}^{2}}{3}$-y²=1可得，（1-3k²）x²-6kx-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
x₁+x₂=$\frac{6k}{1-3{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{6}{3{k}^{2}-1}$，
MN中点为（$\frac{3k}{1-3{k}^{2}}$，$\frac{1}{1-3{k}^{2}}$），
可得MN的垂直平分线方程为y-$\frac{1}{1-3{k}^{2}}$=-$\frac{1}{k}$（x-$\frac{3k}{1-3{k}^{2}}$），
令x=0，可得y=$\frac{4}{1-3{k}^{2}}$，
由△=36k²+24（1-3k²）＞0，解得3k²＜2，
又$\frac{6}{3{k}^{2}-1}$＜0，解得3k²＜1，
综上可得，0＜3k²＜1，
即有$\frac{4}{1-3{k}^{2}}$的范围是（4，+∞），
可得直线m与y轴上的截距的取值范围为（4，+∞）．