Question

设a、b、c∈R,已知二次函数f(x)=ax²+bx+c,g(x)=cx²+bx+a,且当|x|≤1时,|f(x)|≤2.

(1)求证:|g(1)|≤2;

(2)求证:|x|≤1时,|g(x)|≤4.

Answer 1

证明：(1)∵|x|≤1时,|f(x)|≤2,

    ∴令x=1,|f(1)|=|a+b+c|≤2.

    ∴|g(1)|=|c+b+a|≤2.

     (2)∵|x|≤1时,|f(x)|≤2,

    ∴|f(0)|=|c|≤2,

    |f(-1)|=|a-b+c|≤2.

    ∴|g(x)|=|cx²+bx+a|=|(cx²-c)+(c+bx+a)|≤|c||x²-1|+|c-bx+a|.

    ∵|x|≤1,

    ∴|x²-1|≤1.

    又|c|≤2,∴|c||x²-1|≤2.

    ∵μ=c-bx+a在［-1,1］上为单调函数,

    ∴|c-bx+a|≤max{|c-b+a|,|c+b+a|}.

    又|c-b+a|≤2,|c+b+a|≤2,

    ∴|c-bx+a|≤2.

    ∴|g(x)|≤|c||x²-1|+|c-bx+a|≤2+2=4.