Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π），x∈R的最大值是1，最小正周期是2π，其图象经过点M（π，-1）．
（1）求f（x）的解析式；
（2）设A、B、C为△ABC的三个内角，且f（A）=

3

5

，f（B）=-

5

13

，求f（C）的值．

Answer 1

分析：（1）依题意可求得A=1，ω=1，由函数f（x）的图象经过点M（π，-1）可求得φ，从而可得f（x）的解析式；
（2）由（1）得f（x）=cosx，由f（A）=

3

5

，f（B）=-

5

13

可求得sinA与sinB，继而可得f（C）=-cos（A+B），利用两角和的余弦即可求得答案．

解答：（1）依题意得A=1．由T=

2π

ω

=2π，解得ω=1．所以f（x）=sin（x+φ）．
因为函数f（x）的图象经过点M（π，-1），所以sin（π+φ）=-1，即sinφ=1．
因为0＜φ＜π，所以φ=

π

2

．
所以f（x）=sin（x+

π

2

）=cosx．
（2）由（1）得f（x）=cosx，
所以f（A）=cosA=

3

5

，f（B）=cosB=-

5

13

．
因为A，B∈（0，π），所以sinA=

1-cos2A

=

4

5

，sinB=

1-cos2B

=

12

13

．
因为A，B，C为△ABC的三个内角，
所以f（C）=cosC=cos[π-（A+B）]
=-cos（A+B）
=-（cosAcosB-sinAsinB）
=-[

3

5

×（-

5

13

）-

4

5

×

12

13

]
=

63

65

．

点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查两角和与差的正弦函数及两角和的余弦，属于中档题．