Question

已知f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R）．
（Ⅰ）已知对于给定区间（a，b），存在x₀∈（a，b）使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)成立，求证：x₀唯一；
（Ⅱ）x₁，x₂∈R，x₁≠x₂，当m=1时，比较f（

x1+x2

2

）和

f(x1)+f(x2)

2

大小，并说明理由；
（Ⅲ）设A、B、C是函数f（x）=ln（1+e^x）-mx（x∈R，m≥1）图象上三个不同的点，求证：△ABC是钝角三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）假设存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得f'（x₀）=f'（x'₀），由此导出g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的单调增函数，从而得到x₀是唯一的．
（Ⅱ）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，设F(x)=f(

x+x2

2

)-

f(x)+f(x2)

2

，则F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

．由f'（x）单调增．知x＞x₂时，F（x）单调减．x＜x₂时，F（x）单调增，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．
（Ⅲ）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因为m≥1，由f′(x)=

ex

1+ex

-m=1-m-

1

ex+1

＜0，知f（x）是x∈R上的单调减函数由此入手能推导出△ABC为钝角三角形．

解答：解：（Ⅰ）证明：假设存在x'₀，x₀∈（a，b），且x'₀≠x₀，使得

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x0)，

f(b)-f(a)

b-a

=f′(x′0)，
即f'（x₀）=f'（x'₀）．（1分）
∵f′(x)=

ex

1+ex

-m，记g(x)=f′(x)，∴g′(x)=

ex

(1+ex)2

＞0，f′(x)是[a，b]上的单调增函数（或者通过复合函数单调性说明f'（x）的单调性）．（3分）
∴x₀=x'₀，这与x'₀≠x₀矛盾，即x₀是唯一的．（4分）
（Ⅱ）f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

，原因如下：
设F(x)=f(

x+x2

2

)-

f(x)+f(x2)

2

，则F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

．
由（Ⅰ）知f'（x）单调增．
所以当x＞x₂即

x+x2

2

＜x时，有F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

＜0
所以x＞x₂时，F（x）单调减．（5分）
当x＜x₂即

x+x2

2

＞x时，有F′(x)=

1

2

f′(

x+x2

2

)-

f′(x)

2

＞0
所以x＜x₂时，F（x）单调增．（6分）
所以F（x）＜F（x₂）=0，所以f(

x1+x2

2

)＜

f(x1)+f(x2)

2

．（8分）
（Ⅲ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），且x₁＜x₂＜x₃，因为m≥1
∵f′(x)=

ex

1+ex

-m=1-m-

1

ex+1

＜0，∴f（x）是x∈R上的单调减函数．（9分）
∴f（x₁）＞f（x₂）＞f（x₃）．∵

BA

=(x1-x2，f(x1)-f(x2))，

BC

=(x3-x2，f(x3)-f(x2))，
∴

BA

•

BC

=(x1-x2)(x3-x2)+(f(x1)-f(x2))(f(x3)-f(x2))．（10分）
∵x₁-x₂＜0，x₃-x₂＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₃）-f（x₂）＜0，
∴

BA

•

BC

＜0，∴cosB＜0，∠B为钝角．故△ABC为钝角三角形．（12分）

点评：本题考查利用导数判断函数的单调性的综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，注意题设中的隐含条件，合理地进行等价转换．