Question

11．已知圆M的方程为x²+y²-2x-2y-6=0，以坐标原点为圆心的圆N内切于圆M．
（1）求圆N的方程；
（2）圆N与x轴交于E、F两点，圆内的动点D使得|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，求$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用两圆相内切的性质即可得出；
（2）利用等比数列的性质、两点之间的距离公式、数量积运算性质、二次函数的单调性即可得出．

解答 解：圆M的方程可整理为（x-1）²+（y-1）²=8，可得圆心M（1，1），R=2$\sqrt{2}$．
（1）圆N的圆心为（0，0），设其半径为r
，故|MN|=$\sqrt{{1}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{2}$，
∵圆N内切于圆M，∴有|MN|=R-r，即$\sqrt{2}$=2$\sqrt{2}$-r，解得r=$\sqrt{2}$．
∴圆N的方程为x²+y²=2．
（2）不妨设E（m，0），F（n，0），且m＜n．
由$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}=2\\ y=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=±\sqrt{2}}\\{y=0}\end{array}\right.$，
故E（-$\sqrt{2}$，0），F（$\sqrt{2}$，0）．
设D（x，y），由|DE|、|DO|、|DF|成等比数列，
得|DO|²=|DE|×|DF|，
即$\sqrt{（x+\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$×$\sqrt{（x-\sqrt{2}）^{2}+{y}^{2}}$=x²+y²，
整理得x²-y²=1．
由于点D在圆N内，故有$\left\{\begin{array}{l}{x}^{2}+{y}^{2}＜2\\{x}^{2}-{y}^{2}=1\end{array}\right.$，由此得y²＜$\frac{1}{2}$．
而$\overrightarrow{DE}$=（-$\sqrt{2}$-x，-y），$\overrightarrow{DF}$=（$\sqrt{2}$-x，-y），
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$=（-$\sqrt{2}$-x）（$\sqrt{2}$-x）+（-y）（-y）=x²+y²-2=2y²-1，
∴$\overrightarrow{DE}$•$\overrightarrow{DF}$∈[-1，0）．

点评 本题考查了两圆相内切的性质、等比数列的性质、两点之间的距离公式、数量积运算性质、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．