Question

设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)＝x³＋ax与g(x)＝bx²＋c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线．

(1)用t表示a、b、c；

(2)若函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减，求t的取值范围．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因为函数f(x)、g(x)的图像都过点(t，0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0．因为t≠0，所以a＝－t2．g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab．又因为f(x)、g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以(t)＝(t)．而(x)＝3x2＋a，(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt．将a＝－t2代入上式，得b＝t．因此c＝ab＝－t3．故a＝－t2，b＝t，c＝－t3， 　　(2)y＝f(x)－g(x)＝x3－t2x－tx2＋t3，＝3x2－2tx－t2＝(3x＋t)(x－t)．当＝(3x＋t)(x－t)＜0时，函数y＝f(x)－g(x)单调递减．由＜0，若t＞0，则＜x＜t；若t＜0，则t＜x＜．由题意，函数y＝f(x)－g(x)在(－1，3)上单调递减，则(－1，3)(，t)或(－1，3)(t，)．所以t≤－9或t≥3．所以t的取值范围为(－∞，－9]∪[3，＋∞)． 　　解析：(1)把点P坐标分别代入f(x)、g(x)可得两个方程，再由(t)＝(t)组成关于a、b、c的方程组，用t表示a、b、c，(2)利用(1)的结果表示y，根据在(－1，3)上＜0恒成立，讨论t的范围．