Question

设t≠0，点P(t，0)是函数f(x)=x³+ax与g(x)=bx²+c的图像的一个公共点，两函数的图像在点P处有相同的切线．

(Ⅰ)用t表示a，b，c；

(Ⅱ)若函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减，求t的取值范围．

Answer 1

解：(1)∵函数f(x)，g(x)的图像都过点(t，0)，

所以f(t)=0即t³+at=0   ∵t≠0  ∴a=-t²

g(t)=0  即bt²+c=0  ∴c=ab

∵f(x)，g(x)在点(t，0)处有相同的切线，所以f′(t)=g′(t)

而f′(x)=3x²+a，g′(x)=2bx  ∴3t²+a=2bt

将a=-t²代入上式得b=t

∵c=ab=-t³      ∴a=-t²，b=t，c=-t³

(Ⅱ)y=f(x)-g(x)=x³-t²x+t³，

y′=3x²-2tx-t²=(3x+t)(x-t)

∵函数y=f(x)-g(x)在(-1，3)上单调递减且

y′=(3x+t)(x-t)是(-1，3)上的抛物线

∴  即

解得t≤-9或t≥3 

∴t的取值范围是(-∞，-9)∪[3，+∞) .