Question

已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R).
（1）若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；
（2）当a≤0时，求f(x)的单调区间。

Answer 1

（1）；（2）当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增.

试题分析：（1）因为f（x）=ax²－(2a＋1)x＋2lnx，所以f′(x)＝ax?(2a+1)+．因为曲线y=f（x）在x=1和x=3处的切线互相平行，所以f′（1）=f′（3）．由此能求出实数a．
（2）因为函数f（x）的定义域是（0，+∞），且f′（x）=，再由实数a的取值范围进行分类讨论，能够求出f（x）的单调区间．
试题解析：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)
∵f ' (x)＝ax－(2a＋1)＋
（1）由已知函数f ' (1)＝f ' (3)a－(2a＋1)＋2＝3a－(2a＋1)＋a＝  6分
（2）f ' (x)＝＝(x∈(0，＋∞))         8分
①当a＝0时，f ' (x)＝，由f ' (x)＞0得0＜x＜2，由f ' (x)＜0得x＞2
∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减                    10分
②当a＜0时，由f ' (x)＝＝0的x₁＝(舍去)，x₂＝2，由f ' (x)＞0的0＜x＜2，由f ' (x)＜0的x＞2
∴f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减              12分
综上：当a≤0时，f(x)在(0，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递增      13分