Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的离心率为

2 3

3

，且过点P（

6

，1）．
（Ⅰ）求双曲线C的方程；
（Ⅱ）若直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点A和B，且

OA

•

OB

＞2（O为坐标原点），求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用离心率公式，结合点在双曲线上，建立方程组，即可求双曲线C的方程；
（Ⅱ）先将直线与双曲线方程联立，转化为方程(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0有两个不同实根，再利用向量知识，结合

OA

•

OB

＞2，即可求实数k的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由题意

c a = 2 3 3 6 a2 - 1 b2 =1

，∴a²=3，b²=1，∴双曲线C的方程为

x2

3

-y2=1；
（Ⅱ）∵直线l：y=kx+

2

与双曲线C恒有两个不同的交点，
∴方程组

x2 3 -y2=1 y=kx+ 2

恒有两组不同的实数解，
∴方程(1-3k2)x2-6

2

kx-9=0有两个不同实根，
∴

1-3k2≠0 △=(-6 2 k)2+4×9(1-3k2)＞0

，∴k²＜1且k2≠

1

3

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

6 2 k

1-3k2

，x1x2=-

9

1-3k2

∵

OA

•

OB

＞2，∴x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+

2

k(x1+x2)+2＞2，
∴

k2-3

1-3k2

＞0，又∵k²＜1，
∴k∈(-1，-

3

3

)∪(

3

3

，1)．

点评：本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查向量知识的运用，考查学生转化问题的能力，属于中档题．