Question

已知f（x）是定义域为R的奇函数，当x∈（0，1）时，f（x）=

2x-1

2x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）当m取何值时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

Answer 1

分析：（I）利用奇函数的性质即可得出．
（II）变形利用指数函数的单调性，反比例函数的单调性即可得出．

解答：解：（Ⅰ）当x∈（-1，0）时，-x∈（0，1），
由f（x）为R上的奇函数，得f（x）=-f（-x）=-

2-x-1

2-x+1

=-

1-2x

2x+1

=

2x-1

2x+1

，
∴f（x）=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，0）．
又有奇函数得f（0）=0．
F（x）=

2x-1

2x+1

，x∈（-1，1）．
（Ⅱ）当x∈（0，1），m=

2x-1

2x+1

=1-

2

2x+1

，2^x∈（1，2），1-

2

2x+1

∈(0，

1

3

)，即m∈(0，

1

3

)．
∴当m∈(0，

1

3

)时，方程f（x）=m在（0，1）上有解．

点评：熟练掌握奇函数的性质、指数函数的单调性、反比例函数的单调性等是解题的关键．