Question

已知函数f（x）的图象与函数h（x）=

1

x-2

+x-2的图象关于点A（1，0）对称．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若g（x）=f（x）+

a

x

，g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设任一点C在f（x）上，求出点C关于点A（1，0）对称点B，根据题意点B在函数h（x）=

1

x-2

+x-2的图象上，代入即可求出函数f（x）的解析式；
（2）把f（x）代入g（x），要求g（x）在区间（0，2]上的值不小于6，等价转化为a≥-x²+6x-1在（0，2]上恒成立，从而求出a的范围；

解答：解：（1）设函数f（x）的图象上的任意一点C（x，y），
点C（x，y）关于点A（1，0）对称的点为B（x₁，y₁），
∴

x+x1

2

=1，

y+y1

2

=0，解得x₁=2-x，y₁=-y，
∵函数f（x）的图象与函数h（x）=

1

x-2

+x-2的图象关于点A（1，0）对称，
∴点B（2-x，-y），在数h（x）=

1

x-2

+x-2的图象上，代入得f（x）的解析式：
∴-y=

1

2-x-2

+2-x-2=-

1

x

-2，
∴y=

1

x

+x，∴函数f（x）的解析式f（x）=y=

1

x

+x
∴f（x）=x+

1

x

（2）由g（x）=f（x）+

a

x

=x+

a+1

x

≥6，
得a≥-x²+6x-1在（0，2]上恒成立，所以
a≥（-x²+6x-1）_max，
∵-x²+6x-1=-（x-3）²+8在（0，2]上的最大值为x=2时取得，
∴（-x²+6x-1）_max=7，
∴实数a的取值范围a≥7；

点评：此题考查了图形的中心对称以及函数的恒成立问题，体现一种转化的思想，我要认真体会，此题是一道中档题；