Question

（2013•宜宾二模）已知函数f_t（x）=

1

1+x

-

1

(1+x)2

（t-x），其中t为正常数．
（Ⅰ）求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）设数列{a_n}满足：a₁=

5

3

，3a_n+1=a_n+2，（1）求数列{a_n}的通项公式a_n； （2）证明：对任意的x＞0，

1

an

≥f

2

3n

（x）（n∈N^*）；
（Ⅲ）证明：

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

＞

n2

n+1

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求导数，确定f_t（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，从而可求函数f_t（x）在（0，+∞）上的最大值；
（Ⅱ）（1）证明数列{a_n-1}为等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式a_n； 
（2）证法一：从已有性质结论出发；证法二：作差比较法，即可得到结论；
（Ⅲ）证法一：从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩；证法二：应用柯西不等式实现结构放缩，即可得到结论．

解答：（Ⅰ）解：由ft(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(t-x)，可得ft′(x)=

2(t-x)

(1+x)3

(x＞0)，…（2分）
所以，ft′(x)＞0?0＜x＜t，ft′(x)＜0?x＞t，…（3分）
则f_t（x）在区间（0，t）上单调递增，在区间（t，+∞）上单调递减，
所以，ft(x)max=ft(t)=

1

1+t

．…（4分）
（Ⅱ）（1）解：由3a_n+1=a_n+2，得an+1-1=

1

3

(an-1)，又a1-1=

2

3

，
则数列{a_n-1}为等比数列，且an-1=

2

3

•(

1

3

)n-1=

2

3n

，…（5分）
故an=

2

3n

+1=

2+3n

3n

为所求通项公式．…（6分）
（2）证明：即证对任意的x＞0，

1

an

≥f

2

3n

(x)=

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)（n∈N^*）…（7分）
证法一：（从已有性质结论出发）
由（Ⅰ）知f

2

3n

(x)max=f

2

3n

(

2

3n

)=

1

1+ 2 3n

=

3n

3n+2

=

1

an

…（9分）
即有

1

an

≥f

2

3n

(x)(n∈N*)对于任意的x＞0恒成立．…（10分）
证法二：（作差比较法）
由an=

2

3n

+1＞0及an-1=

2

3n

＞0…（8分）

1

an

-f

2

3n

(x)=

1

an

-

1

1+x

+

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)=

1

an

-

1

1+x

+

1

(1+x)2

(an-1-x)
=

1

an

-

2

1+x

+

an

(1+x)2

=[

1 an

-

an

1+x

]2≥0…（9分）
即有

1

an

≥f

2

3n

(x)(n∈N*)对于任意的x＞0恒成立．…（10分）
（Ⅲ）证明：证法一：（从已经研究出的性质出发，实现求和结构的放缩）
由（Ⅱ）知，对于任意的x＞0都有

1

an

≥

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3n

-x)，
于是，

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n

k=1

[

1

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3k

-x)]=

n

1+x

-

1

(1+x)2

(

2

3

+

2

32

+…+

2

3n

-nx)
…（11分）对于任意的x＞0恒成立
特别地，令1-

1

3n

-nx0=0，即x0=

1

n

(1-

1

3n

)＞0，…（12分）
有

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n

1+x0

=

n

1+ 1 n (1- 1 3n )

=

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

，故原不等式成立．…（14分）
证法二：（应用柯西不等式实现结构放缩）
由柯西不等式：(x1y1+x2y2+…+xnyn)2≤(

x

2 1

+

x

2 2

+…+

x

2 n

)(

y

2 1

+

y

2 2

+…+

y

2 n

)
其中等号当且仅当x_i=ky_i（i=1，2，…n）时成立．
令xi=

1

ai

，yi=

ai

，可得(

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

)(a1+a2+…+an)≥(

1

a1

•a1+

1

a2

•a2+…+

1

an

•an)2=n2
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n2

a1+a2+…+an

而由an=

2

3n

+1，所以a1+a2+…+an=n+2×

1 3 (1- 1 3n )

1- 1 3

=n+1-

1

3n

故

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

≥

n2

n+1- 1 3n

＞

n2

n+1

，所证不等式成立．

点评：本题考查导数知识的运用，考查数列的通项，考查数列与不等式的综合，考查学生分析解决问题的能力，难度大．