Question

等差数列{a_n}的前n项和为S_n，已知s₁₀=0，s₁₅=25，则2nS_n的最小值为

 

．

Answer 1

考点：等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：S_n =a•n²+bn，则由s₁₀=0，s₁₅=25求得a、b的值，可得S_n的解析式，再利用导数求得2nS_n的最小值．

解答： 解：设S_n =a•n²+bn，则由s₁₀=0，s₁₅=25，可得100a+10b=0，225a+15b=25．
求得a=

1

3

，b=-

10

3

，∴S_n =

1

3

•n²-

10

3

n，故2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²．
令f（n）=2nS_n=

2

3

n³-

20

3

n²，则f′（n）=2n²-

40

3

n=2n（n-

20

3

）．
在（0，

20

3

）上，f′（n）＜0，f（n）为减函数；在（

20

3

，+∞）上，f′（n）＞0，f（n）为增函数，
故当n=

20

3

时，函数f（n）取得最小值．
再根据n为正整数，可得当n=7时，函数f（n）取得最小值为-98，
故答案为：-98．

点评：本题主要考查等差数列的前n项和公式，利用导数求三次函数的最值，属于基础题．