Question

15．如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥BC，过点C的直线VC垂直于平面ABC，D、E分别为线段VA、VC上异于端点的点．
（1）当DE⊥平面VBC时，判断直线DE与平面ABC的位置关系，并说明理由；
（2）当D、E、F分别为线段VA、VC、AB上的中点，且VC=2BC时，求二面角B-DE-F的余弦值．

Answer 1

分析 （1）证明DE∥AC，即可判断直线DE与平面ABC的位置关系；
（2）BE，DF所成角的大小=二面角B-DE-F的大小，利用余弦定理，即可求解．

解答 解：（1）DE∥平面ABC．
∵VC?平面VBC，DE⊥平面VBC，
∴DE⊥VC，
∵VC⊥平面ABC，∴VC⊥AC，
∵DE⊥VC，VC⊥AC，∴DE∥AC，
∵DE?平面ABC，AC?平面ABC，
∴DE∥平面ABC；
（2）∵DE⊥平面VBC，∴DE⊥BE，DE⊥VB，
∵D，F分别为VA，AB的中点，
∴DF∥VB，∴DE⊥DF，
∴BE，DF所成角的大小=二面角B-DE-F的大小．
∵VC=2BC，∴VE=BC，VB=$\sqrt{5}$BC，∴BE=$\sqrt{2}$BC，
∴cos∠VBE=$\frac{5B{C}^{2}+2B{C}^{2}-B{C}^{2}}{2×\sqrt{5}BC×\sqrt{2}BC}$=$\frac{3\sqrt{10}}{10}$，
∴二面角B-DE-F的余弦值为$\frac{3\sqrt{10}}{10}$．

点评 本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．