Question

已知tan（π+α）=-

1

3

，tan（α+β）=

sin(π-2α)+4cos2α

10cos2α-sin2α

．
（1）求tan（α+β）的值；
（2）求tanβ的值．

Answer 1

分析：（1）先利用诱导公式对已知化简可得tanα，然后把tanα的值代入第二个式子可求tan（α+β）
（2）利用拆角可得β=（α+β）-α，结合（1）利用两角差的正切公式可求

解答：解：（1）∵tan（π+α）=-

1

3

，
∴tanα=-

1

3

，
∵tan（α+β）=

sin(π-2α)+4cos2α

10cos2α-sin2α

=

sin2α+4cos2α

10cos2α-sin2α

=

2sinαcosα+4cos2α

10cos2α-2sinαcosα

=

2cosα(sinα+2cosα)

2cosα(5cosα-sinα)

=

sinα+2cosα

5cosα-sinα

=

tanα+2

5-tanα

，
∴tan（α+β）=

- 1 3 +2

5+ 1 3

=

5

16

．
（2）∵tanβ=tan[（α+β）-α]=

tan(α+β)-tanα

1+tan(α+β)tanα

，
∴tanβ=

5 16 + 1 3

1- 5 16 × 1 3

=

31

43

．

点评：（1）主要考查了诱导公式在三角函数化简中的应用（2）拆角技巧在求解三角函数值中的运用，常见的拆角有2α=（α+β）+（α-β），2β=（α+β）-（α-β），α=α+β-β，β=α+β-α．