Question

函数y=2x+4

1-x

的值域是

 

，y=(

1

2

)x2-x-

1

4

的值域是

 

．函数y=log

1

3

(8+2x-x2)的值域是

 

．

Answer 1

分析：（1）本题中自变量的幂存在二倍关系，可以采用换元法处理．
（2）本小题是由指数函数与一元二次函数构成的复合函数，求值域需先求出一元二次函数的值域．
（3）本小题是由对数函数与一元二次函数构成的复合函数，求值域需先求出一元二次函数的值域．注意真数＞0．

解答：解：（1）令

1-x

=t， t ≥ 0 ， 则1-x = t2，即x=1-t2
∴函数y=2x+4

1-x

=2（1-t²）+4t
=-2（t-1）²，t≥0
此函数是开口向下，以t=1为对称轴的二次函数．
当t=1时，函数有最大值为0．
故答案为：（-∞，0]．
（2）令g（x）=x2-x-

1

4

=（x-

1

2

）²-

1

2

，
∴函数g（x）是开口向上，以x=

1

2

为对称轴的二次函数，
∴函数g（x）有最小值为-

1

2

，即g（x）≥-

1

2

，
∴根据指数函数图象性质可知：
当g（x）=-

1

2

时，函数y=(

1

2

)x2-x-

1

4

有最大值为(

1

2

)-

1

2

=

2

，
故答案为：（0，

2

]．
（3）令p（x）=8+2x-x²，由真数p（x）＞0得，-2＜x＜4，
∴函数p（x）=-（x-1）²+9-2＜x＜4，
∴p（x）的图象是开口向下、以x=1为对称轴的二次函数图象的一部分，
∴当x=1时，p（x）有最大值为9，即p（x）≤9，
∴函数y=log

1

3

p(x)有最小值为log

1

3

9=-2，
故答案为：[-2，+∞）

点评：第（1）个函数是形如：y=（ax+b）+

cx+d

模型的函数，求值域事宜采用换元法．
第（2）个函数是复合函数，单调性遵循同增异减，求值域需知道g（x）的范围．此类题型值得注意的是：指数的函数值大于0．
第（3）个函数是由对数函数与二次函数复合函数，单调性遵循同增异减，求值域需知道p（x）的范围．注意真数大于0的条件的使用．