Question

3．在极坐标系中，求适合下列条件的直线或圆的极坐标方程：
（1）过极点，倾斜角是$\frac{π}{3}$的直线；
（2）过点（2，$\frac{π}{3}$），并且和极轴垂直的直线；
（3）圆心在A（1，$\frac{π}{4}$），半径为1的圆；
（4）圆心在（a，$\frac{π}{2}$），半径为a的圆．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：直线的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）；
（2）由已知可得：直线极坐标方程为：$\frac{1}{ρ}=cosθ$；
（3）圆心A（1，$\frac{π}{4}$），化为直角坐标A$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，圆的直角坐标方程为：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，展开利用$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$即可化为极坐标方程；
（4）由已知可得：极坐标方程为：ρ=2asinθ．

解答 解：（1）过极点，倾斜角是$\frac{π}{3}$的直线的极坐标方程为：$θ=\frac{π}{3}$（ρ∈R）；
（2）过点（2，$\frac{π}{3}$），并且和极轴垂直的直线极坐标方程为：$\frac{1}{ρ}=cosθ$，即ρcosθ=1；
（3）圆心在A（1，$\frac{π}{4}$），化为直角坐标A$（\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}）$，圆的直角坐标方程为：$（x-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（y-\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}$=1，展开为x²+y²-$\sqrt{2}$x-$\sqrt{2}$y=0，化为极坐标方程为：${ρ}^{2}-\sqrt{2}ρcosθ-\sqrt{2}ρsinθ$=0，即ρ=$\sqrt{2}$（sinθ+cosθ）；
（4）圆心在（a，$\frac{π}{2}$），半径为a的圆，其极坐标方程为：ρ=2asinθ．

点评 本题考查了直角坐标方程化为极坐标方程方法、直线与圆的极坐标方程，考查了计算能力，属于中档题．