Question

设,.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求证：在数轴上，介于与之间，且距较远；
（Ⅲ）在数轴上，之间的距离是否可能为整数？若有，则求出这个整数；若没有，
说明理由.

Answer 1

略

试题分析：i(Ⅰ) 证明不成立问题一般采用反证法，即假设问题成立，从假设开始推理论证得出矛盾，则说明假设不成立原命题成立。（Ⅱ）只需证明即可说明介于与之间。下面应分两种情况证明，当时，用作差法比较和 的大小当时，说明距较远。当时同理可证。（Ⅲ）用反证法：假设存在整数m为之间的距离，不妨设，将代入上式整理可得关于的一元二次方程。用求根公式可将解出。若与已知相矛盾，则说明假设不成立，否则假设成立。
试题解析：(Ⅰ)假设与已知，
所以.         3分
（Ⅱ）因为 ，所以
所以或。即或。所以介于与之间。
若则，
因为，所以，
则，所以，所以距较远。
当时，同理可证。
综上可得在数轴上，介于与之间，且距较远。
（Ⅲ）假设存在整数m为之间的距离，不妨设，
则有，因为，所以，即。所以。因为,所以只有。当时，或，与假设矛盾，故，之间的距离不可能为整数。