Question

已知函数．
(Ⅰ)若，试判断在定义域内的单调性；
(Ⅱ) 当时，若在上有个零点，求的取值范围.

Answer 1

(Ⅰ) 增函数； (Ⅱ)

试题分析：(Ⅰ)因为通过对 函数，求导以及可得导函数恒成立，所以可得函数在定义域内是单调递增的.
(Ⅱ)由于代入即可得，对其求导数可得到，所以可知当时函数取到最小值，再根据左右两边分别是先减后增从要使在上有个零点必须使得最小值小于零.同时在的两边都有大于零的值，所以可得的范围.
试题解析：解：（Ⅰ）由可知，函数的定义域为
又，所以当时，
从而在定义域内恒成立。
所以，当时，函数在定义域内为增函数。
（Ⅱ）当时，
所以，由可得解得
由可得解得，所以在区间上为减函数
在区间上为增函数，所以函数在上有唯一的极小值点
也是函数的最小值点，所以函数的最小值为

要使函数在上有个零点，则只需，即
所以实数的取值范围为