题目内容

设函数f(x)=
a3
x3+bx2+4cx+d的图象关于原点对称，f（x）的图象在点P（1，m）处的切线的斜率为-6，且当x=2时f（x）有极值．
（Ⅰ）求a、b、c、d的值；
（Ⅱ）求f（x）的所有极值．
分析：（I）欲求实数a、b、c、d的值，利用在x=1处的切线方程，只须求出其斜率的值即可，故先利用导数求出在x=1处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．
（II）把（1）求出的实数a、b、c、d的值代入导函数中确定出解析式，令导函数等于0求出x的值，根据x的值分区间讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间，得到函数的极大值和极小值．
解答：解：（Ⅰ）由函数f（x）的图象关于原点对称，得f（-x）=-f（x）
∴-
a
3
x3+bx2-4cx+d=-
a
3
x3-bx2-4cx-d，∴b=0，d=0．
∴f(x)=
a
3
x3+4cx，∴f'（x）=ax2+4c．
∴
f′(1)=a+4c=-6
f′(2)=4a+4c=0
，即
a+4c=-6
4a+4c=0
．∴a=2，c=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=
2
3
x3-8x，∴f'（x）=2x2-8=2（x2-4）．
由f（x）＞0，得x2-4＞0，∴x＞2或x＜-2．
x （-∞，-2） -2 （-2，2） 2 （2，+∞）
f'（x） - 0 + 0 -
f（x） ↘ 极小 ↗ 极大 ↘
∴f(x)极大=f(-2)=
32
3
；f(x)极小=f(2)=-
32
3
．
点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用导函数的正负判断函数的单调性并根据函数的增减性得到函数的极值，是一道中档题．
练习册系列答案
相关题目
设函数f(x，y)=(1+
m
y
)x(m＞0，y＞0)．
（1）当m=3时，求f（6，y）的展开式中二项式系数最大的项；
（2）若f(4，y)=a0+
a1
y
+
a2
y2
+
a3
y3
+
a4
y4
且a3=32，求
4
i=0
ai．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3的值；
（II）设a2=2，求证：数列{bn}为等比数列；
（III）求证：
1
2
≤an＜1．
设函数f(x)=
2x
x+1
，且a1=
1
2
，  an+1=f(an)，其中n=1，2，3，…．
（I）计算a2，a3，a4的值；
（II）猜想数列{an}的通项公式，并用数字归纳法加以证明．
（2013•自贡一模）设函数f(x)=x-ln(x+
1+x2
)．
（Ⅰ） 讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若x≥0时，恒有f（x）≤ax3，试求实数a的取值范围；
（Ⅲ）令an=
1
9
(
1
2
)6n+ln[(
1
2
)2n+
1+(
1
2
)4n
](n∈N*)，试证明：a1+a2+a3+…+an＜
1
3
．
设函数f(x)=
x-1
x
log2(x-1)-log2x（x＞1）．
（I）求函数f（x）的最小值；
（Ⅱ）若m，t∈R+，且
1
m
+
1
t
=1，求证：tlo
g
 
2
m+mlo
g
 
2
t≤mt；
（Ⅲ）若a1，a2，a3，…，a2n∈R+，且
1
a1
+
1
a2
+
1
a3
+…+
1
a2n
=1，求证：
lo
g
 
2
a1
a1
+
lo
g
 
2
a2
a2
+
lo
g
 
2
a3
a3
+…+
lo
g
 
2
a2n
a2n
≤n．

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