Question

(本小题满分14分)

已知函数，.

(1)如果函数在上是单调增函数，求的取值范围；

(2)是否存在实数，使得方程在区间内有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出的取值范围；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）()

【解析】

试题分析：（1）当时，在上是单调增函数，符合题意．        ……1分

当时，的对称轴方程为，

由于在上是单调增函数，

所以，解得或，

所以．                                                                 ……3分

当时，不符合题意．  

综上，的取值范围是．                                                 ……4分

（2）把方程整理为，

即为方程.                                             ……5分

设 ，

原方程在区间()内有且只有两个不相等的实数根,

即为函数在区间()内有且只有两个零点.                                 ……6分

，                ……7分

令，因为，解得或（舍），                         ……8分

当时, , 是减函数；

当时, ，是增函数.                                   ……10分

在()内有且只有两个不相等的零点, 只需                  ……13分

即 ∴，

解得, 所以的取值范围是() ．                         ……14分

考点：本小题主要考查二次函数的单调性和利用导数解决函数的单调性、最值问题，考查学生对导数的工具性的应用能力和分类讨论思想和数形结合思想的应用.

点评：研究高次函数的单调性一般用导数，前提是合理构造函数并正确求导，而不论用什么方法考查函数的性质，都不能忘记函数的定义域.