Question

5．设函数f（x）=ax²-bx+3，y=f（x）在x∈（-∞，1]单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减，且有最大值4．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）设$g（x）=\frac{f（x）}{x}$若g（2+sinθ）≥m²-m对任意θ∈R恒成立，则实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次函数的性质建立不等式关系进行求解即可．
（2）判断函数g（x）的单调性，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：∵y=f（x）在x∈（-∞，1]单调递增，在x∈[1，+∞）单调递减，且有最大值4，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{-b}{2a}=1}\\{a-b+3=4}\end{array}}\right.$解得：$\left\{{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-2}\end{array}}\right.$…..（3分），
∴f（x）=-x²+2x+3…..（4分）
（2）由（1）$g（x）=\frac{{-{x^2}+2x+3}}{x}$=$\frac{3}{x}-x+2$，
则g′（x）=-$\frac{3}{{x}^{2}}$-1＜0恒成立，
∵θ∈R，
∴-1≤sinθ≤1，1≤2+sinθ≤3…..（5分）
∴g（x）在[1，3]上是单调减函数…..（9分），
∴当g（2+sinθ）_min=g（3）=0…..（10分）
∴m²-m≤0，
∴0≤m≤1…（12分）

点评 本题主要考查函数解析式的求解，以及不等式恒成立问题，利用参数分离法结合函数的最值问题是解决本题的关键．