题目内容
如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1中点.
（1）求证：AB1⊥面A1BD；
（2）求二面角A－A1D－B的余弦值；
（3）求点C到平面A1BD的距离.
（1）证明过程见解析；（2）
；（3）
解析试题分析：（1）取
中点
，连结
，取
中点
，以为原点，
，
，
的方向为
轴的正方向建立空间直角坐标系，写出
坐标，进而得出向量坐标，利用向量垂直时坐标关系可证明
，
，可得
平面
；（2）令平面
的法向量为
，则
，可得一法向量
，由（1）
为平面的法向量,那么二面角的余弦值即为
，
；（3）可求，
．为平面的法向量,所以C到平面A1BD的距离
.
解：（1）取中点，连结．
为正三角形，
,
在正三棱柱
中，平面
平面
，
平面,
取中点，以为原点，，，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，
，
，
，
，
，
，
．
，
，
，,
平面． 4分
（2）设平面的法向量为,
，
,
，
，
令
得
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中，底面
为矩形，
，
，
，
，
分别为
的中点．
；
平面
；
及其侧视图、俯视图如图所示.设
，
分别为线段
，
的中点，
为线段
上的点，且
.
的余弦值.
，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC， AB=AC=BE=2，CD=1.
，求证：
的底面
是平行四边形，
，
,
分别是棱
的中点.
平面
；
，
中，底面
是正方形，侧棱
⊥底面 
，
是
的中点，作
交
于点
．
平面
；
的正弦值． 
的中点，O1，O1′，O2，O2′分别为CD，C′D′，DE，D′E′的中点．
,ED=1，
//BD，且
.
平面BDEF;
中，
，
，
为正三角形，且平面
平面
．
；
的余弦值．