题目内容

如图，已知曲线C：y＝x2(0≤x≤1)，O(0，0)，Q(1，0)，R(1，1)．取线段OQ的中点A1，过A1作x轴的垂线交曲线C于P1，过P1作y轴的垂线交RQ于B1，记a1为矩形A1P1B1Q的面积．分别取线段OA1，P1B1的中点A2，A3，过A2，A3分别作x轴的垂线交曲线C于P2，P3，过P2，P3分别作y轴的垂线交A1P1，RB1于B2，B3，记a2为两个矩形A2P2B2 A1与矩形A3P3B3B1的面积之和．以此类推，记an为2n－1个矩形面积之和，从而得数列{an}，设这个数列的前n项和为Sn．

(Ｉ)求a2与an；

(Ⅱ)求Sn，并证明Sn＜．

 

【答案】

(Ｉ) ，；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据题意先写出各点坐标，再分别求，然后总结与曲线交点坐标，从而再求；（Ⅱ）由（Ⅰ）知的表达式，先把变形为差的形式，再求表达式，利用等比数列前项和公式求，然后把与进行比较，即得证.

试题解析：(Ｉ) 由题意知P1(，)，故a1＝×＝．

又P2(，)，P3(，)，

故a2＝×[＋－]＝×(12＋32－22)＝．

由题意，对任意的k＝1，2，3，，n，有

(，)，i＝0，1，2，，2k－1－1，

故an＝×[＋－＋－＋＋－]

＝×[12＋32－22＋52－42＋…＋(2n－1)2－(2n－2)2]

＝×{1＋(4×1＋1)＋(4×2＋1)＋…＋[4×(2n－1－1)＋1]}

＝×

＝．

所以a2＝，an＝，n∈N*．        10分

(Ⅱ)由(Ｉ)知an＝，n∈N*，

故Sn＝－＝－＝．

又对任意的n∈N*，有＞0，

所以Sn＝＜．               14分

考点：1、递推公式；2、等比数列的前n项和公式.

 

练习册系列答案
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x
，Cn：y=
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(n∈N*)．从C上的点Qn（xn，yn）作x轴的垂线，交Cn于点Pn，再从Pn作y轴的垂线，交C于点Qn+1（xn+1，yn+1）．设x1=1，an=xn+1-xn，bn=yn-yn+1．
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n
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