Question

（1）求证：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用数学归纳法证明：①当n=1时，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除；②假设n=k时，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，由此导出当n=k+1时，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4能被25整除即可．
（2））由==，能够证明=．
解答：证明：（1）用数学归纳法证明：
①当n=1时，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除，成立；
②假设n=k时，成立，即2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，
则当n=k+1时，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4=6（2^k+2•3^k）+5k+5-4
=（2^k+2•3^k+5k-4）+5（2^k+2•3^k）+5
=（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5，
∵2^k+2•3^k+5k-4能被5整除，20•6^k+5能被25整除，
∴（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5能被25整除，即n=k+1时成立．
由①②知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）∵===，
∴
=[-++…+（-1）ⁿC]，
当n为奇数时，-++…+（-1）ⁿC
=（）-（）
==1．
当n为偶数时，-++…+（-1）ⁿC
=（++…+）+（++…+C
==1．
∴[-++…+（-1）ⁿC]=．
∴．
点评：本题考查数学归纳法的应用，考查二项式定理的应用．解题时要认真审题，仔细分析组合数性质，注意合理地进行等价转化．