Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足S_n=2a_n-2n（n∈N^*），
（1）求证数列{a_n+2}为等比数列；
（2）若数列{b_n}满足b_n=log₂（a_n+2），T_n为数列{

bn

an+2

}的前n项和，求证：T_n＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）由S_n=2a_n-2n（n∈N^*）⇒s_n-1=2a_n-1-2（n-1）（n≥2），两式相减后整理可得

an+2

an-1+2

=2（n≥2），从而可证数列{a_n+2}为等比数列；
（2）由（1）知a_n+2=4×2^n-1，从而可得b_n=n+1，于是

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，利用错位相减法可求得T_n，继而可证结论．

解答：解：（1）由S_n=2a_n-2n（n∈N^*）可得s_n-1=2a_n-1-2（n-1）（n≥2），
两式相减得：a_n=2a_n-1+2（n≥2），
∴a_n+2=2（a_n-1+2）（n≥2），
∴

an+2

an-1+2

=2（n≥2），
∴数列{a_n+2}为等比数列，又a₁=2a₁-2，故a₁=2，
∴数列{a_n+2}为首项为4，公比为2的等比数列．
（2）由（1）可知a_n+2=4×2^n-1，
∴b_n=log2(4×2n-1)=log22n+1=n+1，
∴

bn

an+2

=

n+1

2n+1

，
∴T_n=

2

22

+

3

23

+

4

24

+…+

n

2n

+

n+1

2n+1

，①
∴

1

2

T_n=

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

+

n+1

2n+2

，②
∴①-②得：

1

2

T_n=

2

22

+

1

23

+

1

24

+…+

1

2n+1

-

n+1

2n+2

=

1

2

+

1 23 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

n+1

2n+2

=

3

4

-

1

2n+1

-

n+1

2n+2

，
∴T_n=

3

2

-

1

2n

-

n+1

2n+1

＜

3

2

．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定与错位相减法求和，考查推理与运算能力，属于中档题．