Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，满足a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
（1）求证Sn=2n-1an
（2）设bn=

an

an+1

求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）利用数列递推式，可得

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=2^n-1，构建新数列，利用叠加法，即可证得结论；
（2）再写一式，两式相减，可得数列的通项，分组求和，即可得到结论．

解答：（1）证明：∵a_n≠0，anSn+1-an+1Sn=2n-1an+1an，n∈N*
∴

Sn+1

an+1

-

Sn

an

=2^n-1
令cn=

Sn

an

，则cn+1-cn=2n-1
利用叠加法可得：cn-c1=20+21+…+2n-2=

1-2n-1

1-2

=2^n-1-1
∵c1=

S1

a1

=1，∴cn=2n-1
∴Sn=2n-1an；
（2）解：由（1）知，Sn+1=2nan+1
两式相减可得an+1=2nan+1-2n-1an
∴bn=

an

an+1

=

2n-1

2n-1

=2(1-

1

2n

)
∴T_n=

n

2

-2(

1

2

+

1

22

+…+

1

2n

)=

n-4

2

+

1

2n-1

．

点评：本题考查数列递推式，考查叠加法的运用，考查数列的求和，确定数列的通项是关键．