Question

在三角形ABC中，a、b、c是角A、B、C的对边，a=

3

，cosA=

1

3

，则cos2

B+C

2

=

 

；b²+c²的最大值是

 

．

Answer 1

分析：先根据A+B+C=180°知

A

2

=

B+C

2

，进而可知cos2

B+C

2

=sin²

A

2

，再利用二倍角公式求得sin²

A

2

，即可得到答案．
由余弦定理关于b，c的关系式得

b2+c2-3

2bc

=

1

3

再根据b²+c²≥2bc进而求得b²+c²的范围．

解答：解：∵A+B+C=180°
∴B+C=180°-A，∴

A

2

=

B+C

2

∴cos²

B+C

2

=cos²

180°-A

2

=sin²

A

2

=

1-cosA

2

=

1

3

由余弦定理可知cosA=

b2+c2-a2

2bc

∴

b2+c2-3

2bc

=

1

3

，∴b2+c2= 

2bc+9

3

∵b²+c²≥2bc，
∴b2+c2=

2bc+9

3

≤

a2+b2+9

3

∴b²+c²≤

9

2

故答案为：

1

3

，

9

2

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．属基础题．