Question

在三角形ABC中，a=2，C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

，则三角形ABC的面积S=

8

7

．

Answer 1

分析：在三角形ABC中，由条件利用二倍角公式求得cosB的值，可得sinB的值，求得sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC 的值，再由正弦定理求得c的值，
再根据三角形ABC的面积S=

1

2

•a•c•sinB，计算求得结果．

解答：解：在三角形ABC中，a=2，C=

π

4

，cos

B

2

=

2 5

5

，则cosB=2cos2

B

2

-1=

3

5

，∴sinB=

4

5

，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=

4

5

×

2

2

+

3

5

×

2

2

=

7 2

10

．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2

7 2 10

=

c

2 2

，解得c=

10

7

，
∴三角形ABC的面积S=

1

2

•a•c•sinB=

1

2

×2×

10

7

×

4

5

=

8

7

，
故答案为

8

7

．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理的应用，属于中档题．