Question

(本小题满分16分)
椭圆:的左、右顶点分别、，椭圆过点且离心率.

（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆上异于、两点的任意一点作轴，为垂足，延长到点，且，过点作直线轴，连结并延长交直线于点，线段的中点记为点.
①求点所在曲线的方程；
②试判断直线与以为直径的圆的位置关系， 并证明.

Answer 1

（1）（2）①②直线与圆相切，证明：AQ的方程为 , ,,,
,∴，∴直线QN与圆O相切

试题分析：（1）因为椭圆经过点（0，1），所以，又椭圆的离心率得，
即，由得，所以，
故所求椭圆方程为。
（2）①设，则，设，∵HP=PQ，∴ 即，将代入得，
所以Q点在以O为圆心，2为半径的圆上，即Q点在以AB为直径的圆O上。
②又A（－2，0），直线AQ的方程为，令，则，
又B（2，0），N为MB的中点，∴，，
∴
，∴，∴直线QN与圆O相切。
点评：最后一问判断直线与圆的位置关系转化为向量简化了解题