Question

15．定义函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）\;}{2}$=C，则称函数f（x）在D上的均值为c．已知f（x）=lnx，x∈[1，e²]，则函数f（x）=lnx在x∈[1，e²]上的均值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． e
• D． $\frac{1+{e}^{2}}{2}$

Answer 1

分析 根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）\;}{2}$=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．充分利用题中给出的常数1，e²．当x₁∈[1，e²]时，选定x₂=$\frac{{e}^{2}}{{x}_{1}}$∈[1，e²]容易算出．

解答 解：根据定义，函数y=f（x），x∈D，若存在常数C，对任意的x₁∈D，存在唯一的x₂∈D，使得$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）\;}{2}$=C，则称函数f（x）在D上的均值为C．
令x₁•x₂=1×e²=e²，
当x₁∈[1，e²]时，选定x₂=$\frac{{e}^{2}}{{x}_{1}}$∈[1，e²]，
可得：C=$\frac{ln（{x}_{1}{x}_{2}）}{2}$=1，
故选：B．

点评 这种题型可称为创新题型或叫即时定义题型．关键是要读懂题意．充分利用即时定义来答题．