Question

17．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）-b（ω＞0，0＜φ＜π）的图象两相邻对称轴之间的距离是$\frac{π}{2}$，若将f（x）的图象先向右平移$\frac{π}{6}$个单位，再向上平移$\sqrt{3}$个单位，所得函数g（x）为奇函数．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的对称轴及单调区间．

Answer 1

分析 （1）由周期求得ω，由函数g（x）为奇函数求得φ和b的值，从而得到函数f（x）的解析式．
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，可解得对称轴，令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，求得x的范围，可得到函数的增区间．同理，令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，求得x的范围，可得到函数的减区间．

解答 解：（1）∵$\frac{2π}{ω}=2×\frac{π}{2}$，
∴ω=2，
∴f（x）=sin（2x+φ）-b，…（1分）
又∵$g（x）=sin[2（x-\frac{π}{6}）+φ]-b+\sqrt{3}$为奇函数，且0＜φ＜π，则$φ=\frac{π}{3}$，$b=\sqrt{3}$，…（3分）
故$f（x）=sin（2x+\frac{π}{3}）-\sqrt{3}$；                                …（4分）
（2）令2x+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，解得：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，
可得对称轴：$x=\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}$，k∈Z，…（6分）
令 2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈z，可得：x∈$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
可得：增区间为$[{-\frac{5π}{12}+kπ，\frac{π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
令2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，k∈z，可得：x∈$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]（k∈Z）$，
可得：减区间为$[{\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ}]（k∈Z）$．

点评 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+∅）的部分图象求解析式，正弦函数的单调性，考查了数形结合思想，属于中档题．